SIMULASI MONTE CARLO

SIMULASI MONTE CARLO

Monte Carlo Simulation atau disingkat MCS adalah salah satu teknik asesmen risiko kuantitatif yang dapat digunakan oleh berbagai organisasi dalam proses manajemen risiko mereka, terutama dalam tahapan analisis risiko dan/atau evalusi risiko yang memiliki fenomena variabel acak (random variable). Analisis dan evaluasi risiko dengan fenomena variabel acak tidak hanya hanya terjadi untuk peristiwa-peristiwa risiko pasar (market risk), risiko kredit (credit risk), dan risiko operasional (operational risk) dalam dunia perbankan, tetapi juga untuk risiko operasional di berbagai industri lain misalnya industri minyak dan gas (oil and gas) dan pertambangan (mining),
Monte Carlo Simulation adalah salah satu teknik asesmen risiko berciri kuantitatif yang diakui dalam penerapan ISO 31000 Risk Management Standard. Teknik ini secara eksplisit tercantum dalam dokumen pendukung ISO 31000 yaitu “ISO31010 Risk Assessment Techniques”.

Sumber:

http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Probstat/2010-2011/Makalah2010/MakalahProbstat2010-014.pdf

Sejarah Metode Monte Carlo

Ide pertama dicetuskan Enrico Fermi di tahun 1930an. Pada saat itu para fisikawan di Laboratorium Sains Los Alamos sedang memeriksa perlindungan radiasi dan jarak yang akan neutron tempuh melalui beberapa macam material. Namun data yang didapatkan tidak dapat membantu untuk memecahkan masalah yang ingin mereka selesaikan karena ternyata masalah tersebut tidak bisa diselesaikan dengan penghitungan analitis.

Lalu John von Neumann dan Stanislaw Ulam memberikan ide untuk memecahkan masalah dengan memodelkan eksperimen di komputer. Metode tersebut dilakukan secara untung-untungan. Takut hasil karyanya dicontek orang, metode tersebut diberi kode nama ―Monte Carlo. Penggunaan metode Monte Carlo membutuhkan sejumlah besar angka acak sehingga seiring dengan berkembangnya metode ini, berkembang pula pseudorandom number generator yang ternyata lebih efektif digunakan daripada tabel angka acak yang terlah sebelumnya sering digunakan untuk pengambilan sampel statistik.

Penerapan Metode untuk Menghitung π

Seperti yang telah disebutkan di atas, metode Monte Carlo dapat diaplikasikan untuk menghitung π. Penghitungan π dengan menerapkan metode Monte Carlo adalah sebagai berikut.

Langkah pertama, buatlah sebuah persegi dengan panjang sisi 2r. Lalu gambarlah sebuah lingkaran di dalam persegi tersebut dengan jari-jari lingkaran sepanjang r. Gambar dapat dilihat di Gambar 1.

Untuk mempermudah perhitungan, bagian yang akan ditinjau hanyalah satu kuadran dari sebuah lingkaran saja. Ilustrasinya adalah seperti gambar di bawah ini. Untuk mempermudah, bagian lingkaran kita warnai jingga sementara sisanya kita biarkan putih.

Gambar 2

Kemudian kita bisa membayangkan menaburkan beras di atas gambar tersebut. Kita bisa menyebut kejadian tersebut sebagai kejadian dengan sampel acak. Karena acak itulah, kita bisa memperkirakan perbandingan jumlah butir beras yang jatuh di daerah berwarna jingga dengan yang jatuh di daerah putih.

Bila kita mendefinisikan x sebagai variabel acak dari kejadian butiran beras jatuh di daerah jingga (lingkaran) dan y sebagai variabel acak dari kejadian butiran beras jatuh di daerah persegi (keseluruhan), sementara P(x) dan P(y) adalah kemungkinan terjadinya kejadian tersebut, maka dapat disimpulkan hal-hal seperti di bawah ini.

Gambar 3

Gambar 4

Misalnya radius dari lingkaran adalah 1 satuan panjang. Untuk setiap butiran beras yang jatuh kita bisa mendapatkan 2 angka acak. Angka-angka tersebut adalah angka a dan b yang merupakan kordinat dari tempat jatuhnya butiran beras. Kemudian kita bisa menghitung jarak dari titik asal (0,0) dan mengambil kesimpulan. Hasil jarak yang kurang dari 1 berarti butiran beras jatuh di dalam daerah jingga.

Bila kita telah mendapatkan nilai P(x) dan P(y), sesungguhnya kita bisa langsung menghitung π namun angka yang dihasilkan tidak akan memuaskan.

Namun untuk mendapatkan hasil π yang memuaskan ternyata dibutuhkan butiran beras dalam jumlah besar. Untuk mempermudah, kita bisa membuat komputer menghasilkan angka-angka acak.

Bila kita melakukannya berjuta-juta kali, kita akan mendapatkan P(x) dan P(y) yang merupakan jumlah terjadinya kejadian x/y dibagi jumlah percobaan yang dilakukan. Setelah mendapatkan P(x) dan P(y) (atau cukup jumlah kejadian x dan y), kita dapat menghitung besar π dengan hasil yang memuaskan.

Bila kita melakukannya berjuta-juta kali, kita akan mendapatkan P(x) dan P(y) yang merupakan jumlah terjadinya kejadian x/y dibagi jumlah percobaan yang dilakukan. Setelah mendapatkan P(x) dan P(y) (atau cukup jumlah kejadian x dan y), kita dapat menghitung besar π dengan hasil yang memuaskan. Metode ini termasuk kepada metode pembalikan seperti telah disebutkan sebelumnya.

Sumber:

http://www.unhas.ac.id/lkpp/tani/Mahmud%20-%20BAB%207.pdf

Metode Monte Carlo merupakan dasar untuk semua algoritma dari metode simulasi yang didasari pada pemikiran penyelesaian suatu masalah untuk mendapatkan hasil yang lebih baik dengan cara memberi nilai sebanyakbanyaknya (nilai bangkitan/Generated Random Number) untuk mendapatkan ketelitian yang lebih tinggi. Metode ini menganut system pemrograman yang bebas tanpa telalu banyak diikat oleh rule atau aturan tertentu.

B. DASAR TEORI SIMULASI MONTE CARLO

1. Variabel Random

Menurut Bain dan Engelhardt (1992) Variabel random adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel 𝑆 yang menghubungkan setiap hasil yang mungkin 𝑒 di 𝑆 dengan suatu bilangan real, yaitu (𝑒) = 𝑥. Jika himpunan hasil yang mungkin dari variabel random 𝑋 merupakan himpunan terhitung, { 1, 𝑥2, … 𝑥n }, atau , { 𝑥1, 𝑥2, … }, maka X disebut variabel random diskrit

2. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial digunakan untuk mengetahui besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu atau banyaknya terjadi peristiwa sukses dalam n kali percobaan (trial). Misal adalah banyaknya kejadian sukses, 𝑝 adalah besarnya peluang terjadinya peristiwa sukses, maka dapat dinotasikan sebagai 𝑋 ~𝐵in ( , 𝑝 ) (Bain dan Engelhardt, 1992).

3. Distribusi Normal

4. Distribusi Normal Multivariat

Distribusi normal multivariat merupakan perluasan dari distribusi normal univariat.

5. Fungsi Lagrange

6. Uji Lilliefors untuk kenormalan

Uji Lilliefors merupakan metode untuk menguji data apakah data berasal dari distribusi normal atau tidak. Metode ini menggunakan statistik uji tipe Kolmogorov- Smirnov yaitu pada jarak vertikal maksimum antara fungsi kumulatif (𝑋) distribusi empirik sampel random 𝑋1, 𝑋2,. . . , 𝑋p dengan fungsi kumulatif distribusi normal standar yang disebut 𝐹 (Conover, 1980).

7. Matriks

Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

8. Pembangkit Bilangan Random

Dalam sistem nyata, faktor keacakan menyebabkan sesuatu tidak sepenuhnya dapat diramalkan. Dalam metode Monte Carlo faktor kerandoman dimasukkan ke dalam model dengan melibatkan satu atau lebih variabel random. Sebuah metode untuk membangkitkan bilangan random dikatakan baik jika bilangan random yang dihasilkan memenuhi sifat kerandoman, saling independen, memenuhi distribusi statistik yang diharapkan, dan dapat direproduksi.

Metode Simulasi Monte Carlo untuk Menduga Debit Aliran Sungai

Dalam contoh ini akan diinformasikan dan direkornendasikan hasil simulasi debit aliran sungai dengan menggunakan Metode Simulasi Monte Carlo. Hal pertama yang harus ditentukanldiketahui sebeiurn melakukan simulasi dengan rnetode Simulasi Monte Carlo adalah sebaran peluang dari peubah yang akan disimulasi. Berdasarkan kepada sebaran peluang tersebut nantinya akan diperdeh data, yakni dengan menggunakan bilangan acak. Banyak cara dapat digunakan untuk membangkitkan biiangan acak, misalnya dengan menggunakan dadu (cata manual) atau program komputer (cara mekanis). Penggunaan program komputer sangat

menunjang untuk meningkatkan efektifitas dan efisiensi proses simulasi (Pramudya dan Djojomartono, 1993).

Cara yang umum digunakan untuk membangkitkan bilangan acak pada simulasi kornputer adalah dengan rnenggunakan Pseudo Random Generator, yang telah menjadi fungsi pustaka pada bahasa pemograman komputer. Pada bahasa BASIC, pembangkit bilangan acak dinyatalran dengan RND, sedangkan pada bahasa FORTRAN dinyatakan dengen fungsi RAN(X) atau RANF(-1). Secara bertahap, langkah-langkah utama yang harus dilakukan di dalam proses simulasi Monte Carlo adalah sebagai berikut:

1. Penentuan sebaran peluang untuk peubah acak pokok dari sistem yang dianalisis atau diiimulasi. Sebaran peluang suatu peubah dapat dipedeh dari data historis, percobaan, atau dari suatu pilihan yang bersifat apriori (perkiraan). Sebaran peluang yang sering digunakan pada simulasi Monte Carlo dapat dibedakan atas dua macam, yahi: (1) sebaran tiikrit dan (2) sebaran kontinu. Beberapa sebaran diiskrit standar yang sering digunakan adalah sebaran: (a) Binomial. (b) Poisson, (c) Geomettik, dan (d) Hyper- Geometrik. Selain itu, sebaran diskrit tidak standar juga dapat dinah untuk kondisi tertentu. Sedangkan sebaran kontinu yang sering diiunakan adalah sebaran: (a) Normal, (b) Eksponensial, (c) Gamma, (d) Erlang, dan (8) Uniform. Sebaran tidak standar juga dapat dinakan untuk kondisi tertentu (Djojamato, 1993). Fungsi yang menyatakan sebaran peluang di atss dikenal dengan ktilah Fungsi Kepekatan Peluang (Probability Density Funtion - PDF). Mengubah PDF ke dalam bentuk kurnulatifnya, sehingga diperdeh Fungsi Ditribmi Kumulatif (Cumulative Distribution Function - CDF) dari peubah sistsm yang diiknulasi. Hal ini akan menjarnin bahwa hanya ada satu ni!ai peubah yang bemubungan dengan satu nilai biigan acak.

2. Mengambii satu contoh dari CDF dengan menggunakan bilangan acak, untuk rnenentukan nilai spesifik dari peubah yang akan tiiunakan pada ulangan simulasi.

3. Melakukan sirnulasi dengan ulangan yang cukup. Simulas i dengan bantuan komputer dapat dilakukan dengan ulangan yang lebih banyak tanpa ada masalah.

SISTEM SIMULASI

Data yang digunakan adalah deret data debit aliran sungai selama 12 tahun. Data 10 tahun pertama digunakan untuk proses simulasi, sedangkan data 2 tahun tersisa

(terakhir) digunakan untuk validasi hasil simulasi. Berdasarkan aplikasi di lapang - pendugaan ketersediaan air irigasi biasanya dilakukan untuk selang waktu satu minggu - mslka simulasi dilakukan terhadap debit rata -rata mingguan. Deret data debit rata-rata mingguan sungai Cikapundung diduga mengikuti sebaran Nmai, yang dalam proses simulasi dihitung dengan persamaan :

Simulasi dilakukan pada buian Desember 2000 dengan menggunakan Personal Computer (PC) dengan Bahasa Program QBASIC. Bagan alir proses simulasi tertera pada Gambar 1. Siufasi dilakukan sebanyak 20 kali ulangan. Dari hasil simulasi 20 kali ulangan tersebut, dihitung rata -ratanya secara aritmetika. Nilai rata-rata tersebut merupakan nilai akhir dari hasil simulasi, yang akan digunakan pada aplikasi di lapang. Validasi hasil simulasi dilakukan dengan rnenggunakan rata -rata dari Persentase Kesalahan Absolut Rata- Rata (Mean Absolute Percentage Error- MAPE) (Persamaan 2). Jika MAPE < 25% maka hasii simulasi dapat diterima secara memuaskan, sebaliknya jika MAPE > 25% maka has4 simulasi kurang memuaskan (Makridakii, Wheelwright, and McGee, 1983).

Kasus Simulasi ini menyimpulkan:

Metode Simulasi Monte Carlo dapat diaplikasikan secara memuaskan untuk menduga (mensimulasi) debit aliran sungai pada suatu waktu (dalam ha1 ini debit rata -rata mingguan). Metode Simulasi Monte Carlo seyogyanya dapat digunakan sebagai salah satu metode ahematif untuk menganalisis debit aliran sungai. Untuk rnengetahui aplikasi yang lebih luas dari Metode Simulas i Monte Carlo pada bidang hidrologi, perlu kiranya dilakukan analisis lain terhadap kejadian hidrologi lainnya yang bersifat stokastik, seperti curah hujan, evaporasi, evapotranspirasi, dan sebagainya untuk dijadikan pembanding dalam pengambilan keputusan untuk tujuan kebijakan dan perencanaan sumber daya air.

KESIMPULAN
Secara singkat, ketidakteraturan, penghasil angka acak, dan metode Monte Carlo saling berhubungan satu sama lain. Metode Monte Carlo sendiri adalah suatu metode untuk mendapatkan nilai yang paling mendekati dari yang diharapkan dengan bereksperimen dengan angka-angka acak yang dihasilkan RNG dan teori probabilitas untuk mendapatkan hasil yang paling mendekati.